黎曼函数的定义（黎曼ζ函数的介绍）
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黎曼ζ函数的介绍
黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部份》 1而且：在区域{s : Re(s) 》 1}上， 此无穷级数收敛并为一全纯函数。（上式中Re表示复数的实部。）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s》1。 波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律（Zipf's Law）和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law）），还有物理，以及调音的数学理论中。
黎曼函数是不是连续函数
下面这样定义的函数称为黎曼函数：
R（x）=0,如果x=0，1或（0，1）内的无理数；
R（x）=1/q,如果x=p/q（p/q为即约真分数）,即x为（0，1）内的有理数；
此函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
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