指数函数经典例题（关于指数函数值域的一道题（高一））
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关于指数函数值域的一道题（高一）
f(x) = 2^x - 1/2^x +1
∵2^x在R上单调增
∴1/2^x在R上单调减
∴-1/2^x在R上单调增
∵2^x 和 - 1/2^x 都在R上单调增
∴f(x) = 2^x - 1/2^x +1在R上单调增
∵0 ＜ 2^x ＜ +∞， -∞ ＜ - 1/2^x ＜0
∴f(x)值域：（-∞，+∞）
【备注，如果题目是f(x) = 2^x + 1/2^x +1，可用基本不等式】
∵2^x ＞0， 1/2^x ＞0
∴f(x) = 2^x + 1/2^x +1
= ^2 + 1
= ^2 +2 +1
= ^2 +3 ≥3
即f(x）值域 [3，+∞）
急：：一道高一数学指数函数的题.
y=1+2^x+a*4^x
=1+2^x+a*2^2x
=1+2^x+a*(2^x)^2
所以，设2^x=t 因为x∈（—∞，1] 所以 t∈（0，2]
则既要求 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2] 时 y＞0.
又因为 y=a*t^2 +t+1 的对称轴为 t0=-1/2a
1，若 a》0 即 对称轴为 t0=-1/2a 《 0
则 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2]为单调增函数
只需y=f（t），在t=0处 》 0 即可。
所以a》0；且 1+0+a*0^2 》0 恒成立
故 a》0 时原函数在x∈（—∞，1]上y＞0恒成立。
2，若 a=0 则原函数为 y=1+2^x ＞0 恒成立.
3,若a《0 观察y=f（t）图像
则要求y=f（t），在t=0，t=2 时同时大于0方可满足要求。
即：1+0+a*0^2 》0 -----恒成立
且：1+2+a*2^2=3+4a 》0 即 0》a》-3/4
综上 a》-3/4
y=4^(x-1/2)-3.2^(x)+5
=1/2^2-3*2^X+5.
令,2^X=t,t的取值范围是,则有
Y=1/2t^2-3t+5,此函数是个开口向上的抛物线,对称轴坐标是:t=3,t属于的中轴是t=(4-1)/2=3/2.
对称轴的左边是递减,右边是递增,
Y的最大值,只有当t=1时,Y最大=5/2.
Y的最小值,只有当t=3时,Y最小=1/2.
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