分段函数的概念（分段函数是由几个函数组成的么）

本文目录

• 分段函数是由几个函数组成的么
• 分段函数的概念是什么是不是定义域不同，所以导致分段
• 什么是符号函数什么是分段函数它们在微积分有什么作用
• 数学分段函数的定义域
• 什么叫分段函数
• 分段函数
• 什么是分段函数
• 分段函数的含义是什么

分段函数是由几个函数组成的么

分段函数，顾名思义就是将一个函数分成多个表达式来描述。
分段函数是对定义域来进行分段，从而在每个分段定义域上用不同的表达式来描述函数。
因此分段函数只是一个函数，而其表达式在每个分段上不同（也可能相同）。
对于分段函数的问题只需在每一分段上分别求解，最后再根据实际题目得到答案。
例如：
f(x)=｛-x，x《0,
｛x，x≥0

分段函数的概念是什么是不是定义域不同，所以导致分段

一个函数在不同的区间上，对应关系不同，这样的函数叫分段函数。
是对应关系不同导致的分段。
例如，地铁的分段计费；出租车的计费等都可以用分段函数来计费。有的函数可以转化为分段函数，如y=|x|.
分段函数可能是连续的，也可能不连续。可能是可导的，也可能不可导。

什么是符号函数什么是分段函数它们在微积分有什么作用

符号函数：数学上的Sgn 函数返回一个整型变量，指出参数的正负号。语法Sgn(number)， number 参数是任何有效的数值表达式。

返回值如果 number 大于0，则Sgn 返回1；等于0，返回0；小于0，则返回-1。number 参数的符号决定了Sgn 函数的返回值。

分段函数：就是对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

作用：用来说明数量变化，微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门学科的创立并不是某一个人的业绩，而是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样。

用艾佛森括号定义：

sgn x= − 任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积：x= (sgn x) | x|。

若x不为零，可以由上式得出符号函数的另一个定义：sgn(x)=x/|x|。

符号函数是绝对值函数的导数。

d|x|/dx=x/|x| 除了在0，符号函数可微分，其导数为0。透过一般化微分概念，可以说符号函数是狄拉克δ函数的两倍。

dsgn(x)/dx=2δ（x） 它和单位步阶函数的关系：

sgn x= 2H1 / 2(x) − 1。

数学分段函数的定义域

分段函数就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。下面整理了相关知识点，供参考。

分段函数的定义域

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

定义域是函数的三要素(定义域、值域、对应法则)之一，对应法则的作用对象。指函数自变量的取值范围，即对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M，集合D中的任意一个数，在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应，则集合D称为函数定义域。

所以分段函数的定义域就是每个函数的定义域的并集，要先求出每个函数的定义域然后再求所有定义域的并集。

函数的概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

什么叫分段函数

分段函数的原函数必是连续的。

详细介绍

表示

首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

分段函数

　　摘 要: 本文概括了分段函数常见问题的解决方法。

　　关键词: 分段函数 常见问题 解决方法

　　分段函数是指在函数定义域中对于自变量的不同的取值范围有不同的对应法则的函数。变量之间的关系要用两个或两个以上的式子表示。这种函数在日常生活、医学问题等方面中广泛存在。如居民水费,电费,企业税收金,医学中某些药品用量规定等采取分档处理,用数学式子表达就是分段函数。由于“分段”特点,解决分段函数的问题必须采取严谨的特殊方法,既要涉及初等函数公式、定理,又要综合运用高等数学的概念、公式、定理,是高等数学学习的难点。本文概括了分段函数常见问题的解决方法。

　　一、分段函数的确定

　　首先要准确确定分段点并划分自变量的取值区间,然后根据不同的区间正确确定函数关系式。对于分段函数通过+、-或复合的新分段函数,关键是确定新分段点,重新划分区间,还要注意只有在各分段函数的定义域有公共区间才能进行复合。

　　例1:将函数f(x)=2-|x-2|表示成分段函数。

　　(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x《0) (B)f(x)=4-x(x≥2)x(x《2)

　　(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x《0)(D)f(x)=4-x(x≥2)4+x(x《2)

　　分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x《2),∴选(B)。

　　例2:设f(x)= 1 (x》0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f=。

　　分析:定义域为R,又∵g(x)=x+1》0,∴f=1。

　　例3:设f(x)= 0(x≤0)x(x》0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。

　　分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x》1),分段点有两个x=0,x=1,

　　∴F(x)= 0(x≤0)x(01)。

　　例4:设f(x)=1(0≤x≤1)2(1　　(A)无意义 (B)在有意义

　　(C)在无意义

　　分析:∵f(x)定义域为,∴选(A)。

　　二、分段函数定义域

　　分段函数的定义域各个部分自变量取值的并集。

　　例1:设f(x)=(|x|≤1)x-1(1《|x|≤2),其定义域是()。

　　分析:定义域为{x||x|≤1}∪{x|1《|x|《2}=(-2,2)。

　　例2:设f(x)=x-1(x《0)2 (0　　分析:定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪[1,3)=(-∞,0)∪(0,3)。

　　三、分段函数的函数值

　　根据x的所在区间,正确选取相应的表达式,代入求计算即得。

　　例1:设f(x)=1-x(-3≤x《0)(0≤x≤3),求f(a)。

　　分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a《0) a (0≤a≤)。

　　例2:设f(x)=2x (x≤2)x-4x-3(x》2),求f。

　　分析:∵1.5《2,∴f(1.5)=3;

　　又∵3》2,∴f=9-12+3=0。

　　例3:设f(x)=6(x《2)3(2≤x《3)2(x≥3),且a》0,求。

　　分析:∵a》0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,

　　∴=或。

　　四、分段函数的反函数

　　首先判断函数的定义域与值域是否一一对应(或函数是否有单调性),确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的`反函数并确定相应自变量的取值范围。

　　例1:设f(x)=(-∞　　分析:作图可知函数的定义域与值域一一对应,反函数存在,分别求出各区间的反函数为f(x)=2x (-∞　　例2:设f(x)= e(x≥0)x+1(x《0),求反函数f(x)。

　　分析:f(x)是单调递增函数,反函数存在,为f(x)=lnx(x≥1)x-1(x《1)。

　　五、分段函数的奇偶性

　　首先判断定义域是否关于原点对称,是的话,分别用-x代替解析式中的x并解出结果。注意自变量的取值范围相应改变,也可以通过作图判定。

　　例1:判断f(x)=x-1(x《0)0(x=0)x+1(x》0)的奇偶性。

　　方法一:作图可知图像关于原点对称,是奇函数。

　　方法二:

　　分析:定义域(-∞,+∞)关于原点对称。

　　f(-x)=-x-1(-x《0) 0 (x=0)-x+1(-x》0)=-(x+1)(x》0)0(x=0)-(x-1)(x《0)

　　∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。

　　例2:判断f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1　　方法一:作图可知图像关于y轴对称,是偶函数。

　　方法二:分析:定义域关于原点对称。

　　f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1) 1 (-1《-x《1)2+x(1≤-x≤2)=-x+2(1≤x≤2) 1 (-1　　∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数。

　　六、分段点的极限

　　对于非分段点或两侧表达式相同的分段点可用初等函数的求极限方法。而对于两侧表达式不同的分段点的极限要分别求出左右极限。根据定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判断函数在该点的极限是否存在。

　　例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2),求f(x)。

　　(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞

　　分析:∵x=2是分段点但两侧表达式相同,由上述定理可得:

　　∴f(x)=f(x)=x=4。

　　例2:f(x)== 1 (x》1)-1(x《1),求f(x)。

　　分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。

　　∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。

　　例3:f(x)=3x (x《1) 2(x=1)3x(x》1),求f(x)。

　　分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。

　　七、分段函数的连续性

　　由于一切初等函数在它的定义域内是连续的,因此分段函数的连续性关键是判断分段点的连续性。

　　例1:判断f(x)=(x》0)e(x≤0)在x=0处是否连续。

　　分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,∴f(x)在x=0处连续。

　　例2:f(x)= (x《0)3x-2x+k(x≥0)在x=0处连续,求k。

　　分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。

　　分析:∵f(x)=2,f(x)=k,∴k=2。

　　例3:函数f(x)=(x》0)a(x=0)xsin+b(x《0)在其定义域内是连续的,求a、b的值。

　　分析:由题意可知,f(x)在x=1处连续。

　　∵f(x)=,f(x)=b,又f(0)=a,∴a=b=。

　　八、分段函数的导数

　　非分段点可利用公式求出导数再代入即可。对于分段点且两侧表达式相同的可根据定义。对于分段点用两侧表达式不同的,必须求出左导和右导。

　　例1:f(x)=(x≠0)0 (x=0),求f′()、f′(0)。

　　分析:∵f′(x)=,∴f′=-,f′(0)===1。

　　例2:f(x)=ln(1+x)(x》0) x(x≤0),求f′(0)。

　　分析:∵f′(x)===1,f′(0)==1,∴f′(0)=1。

　　例3:f(x)=e(x《0)e (x≥0),求f′(x)。

　　分析:∵f′(0)===1,

　　f′(0)==-1,

　　∴f(x)在x=0处不可导,∴f′(x)=-e(x《0)e(x》0)。

　　九、分段函数的不积分

　　分别求出各区间段相应函数的不定积分,再由连续性确定常数。

　　例1:f(x)= x (x《0)-sinx(x≥0),求f(x)dx。

　　分析:f(x)dx= +c (x《0)cosx+c(x≥0)

　　∵f(x)在x=0处连续,∴c=1+c,

　　∴f(x)dx=+1+c(x《0) cosx+c (x≥0),其中c为任意常数。

　　例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x》0),且在x=0处连续,f(0)=0,求f(x)。

　　分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x》0)

　　∵f(x)在x=0处连续,且f(0)=0,c=0,c=-1。

　　∴f(x)=x (x≤0)e-1(x》0)。

　　十、分段函数的定积分

　　利用定积分的可加性,分成多个定积分。注意要根据分段区间选取相应被积函数。

　　例1:f(x)=1(-1≤x《0)2(0≤x≤1),求f(x)dx。

　　分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。

　　例2:求|1-x|dx。

　　分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。

　　例3:f(x)= 0 (x《0)(0≤x≤1) 0 (x》1),kf(x)dx=1,求k的值。

　　分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。

　　十一、结语

　　在讨论分段函数的有关问题中,分段点是个特殊点,一般要分段处理。特别是求分段点极限、导数,以及判断连续性,都要“左看右看”,谨慎处理。

　　参考文献:

　　刘书田等编.高等数学.北京理工大学出版.

什么是分段函数

一、分段定义：各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

二、类型：

1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值。

2、分界点左右的数学表达式不一样。

三、分段函数的连续性：

利用左右极限,如果左右极限存在且相等，且等于原函数在该点的值就连续。

扩展资料

一、函数的表示：

函数是发生在集合之间的一种对应关系。要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

二、函数来源：

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。

之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

分段函数的含义是什么

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。