大学反函数求导例题（关于反函数求导法则的理解我不理解反函数的导数等于直接函数导数的倒数中的反函数的定义具体看照片）

本文目录

• 关于反函数求导法则的理解我不理解反函数的导数等于直接函数导数的倒数中的反函数的定义具体看照片
• y’=2/3*x^（-1/3 ）为什么在x=0的时候导数不存在 有人说左导右导不会求 可我不是很会求== 能麻烦写下过程么
• 证明（arccosx）’=-1/根号1减去x的平方的求导公式
• 关于arctan x的详细求导过程
• arctan怎么求导等于1/（1+x^2）
• 证明arcsinx 的导数，要过程！
• 反函数导数的计算题，要详细过程
• y=（1/2）ln（（1-x）/（1+x）） 反函数的导数

关于反函数求导法则的理解我不理解反函数的导数等于直接函数导数的倒数中的反函数的定义具体看照片

令y=f(x)为原函数,那么y’=f’(x)也就是f(x)的导数.那么这样变换,由于x=’,对其求导,也就是1=f’(x)*f’^(-1)(f(x)),也就是1=f’(x)*f’^(-1)(y)对于函数的反函数,应该将y与x互换,也就是把反函数作用的对象变为x,这样1=f’(x)*f^(-1)(x)从而结论得证. 

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊：
y=x3的导数是y’=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y’=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！
出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此：
y=x1/3的导函数应该这样求 y‘=1/(y3)’=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，
=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则
所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。
例题：求y=arcsinx的导函数。 首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以： y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。
相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

y’=2/3*x^（-1/3 ）为什么在x=0的时候导数不存在 有人说左导右导不会求 可我不是很会求== 能麻烦写下过程么

解：y=x^2/3的单调性。、

方法有两种，1.高中方法，2.大学导数法

1. 高中方法：定义法，

这个是幂函数，指数为2/3

因为指数的分子为2是偶数，分母为3是奇数，

y=3根号x^2

因为是奇数根号，所以x属于R

关于原点对称，

f(-x)=(-x)^2/3=3根号（（-x)^2)=3根号x^2=x^2/3=f(x)

是偶函数，

则证明在半区间[0,+无穷）上的单调性，

任取x2》x1》=0

f(x2)-f(x1)=x2^2/3-x1^2/3

=(x2^1/3+x1^1/3)(x2^1/3-x1^1/3)

y=x^1/3的反函数，

y^3=(x^1/3)^3=x^(1/3x3)=x

x=y^3

y=x^3,

y=x^3在R上是单调递增的，

则其反函数y=x^1/3在R上也是单调递增（反函数的单调性与原函数一致）

x2》x1》=0

x2》0,x1》=0

x2^1/3》0^1/3=0,x1^1/3》=0^1/3=0,x1^1/3》=0

x2^1/3+x1^1/3》0

y=x^1/3在R上单调递增，

x2》x1

f(x2)》f(x1)

x2^1/3》x1^1/3

x2^1/3-x1^1/3》0

两个因子都》0

则乘积》0

f（x2)-f(x1)》0

f(x2)》f(x1)

f(x)在[0,+无穷）上单调递增，

根据对称性，就行，f(x)在（-无穷，0]上单调递减，

x=0是它的驻点，即f(x)在x=0处取得最小值，

x=0是它的对称轴，所以单调区间0可以并入增区间，也可以并入减区间，也可以都不并入，因为这个点即使减区间的右端点，又是增区间的左端点，是个临界点，所以可以并，也可以步兵

f(x)在（-无穷，0）上单调递减，在[0,+无穷）上单调递增，

（2）导数法：根据导数的正负得出单调区间，

y=x^2/3

y’=2/3x^(2/3-1)

y’=2/3x^(-1/3)

令y’=0

2/3x^(-1/3)=0

x^(-1/3)=0

1/x^1/3=0

因为x/=0,x^1/3/=0,1/x^1/3/=0

无解，

y’》0

1/x^1/3》0

x^1/3》0

(x^1/3)^3》0^3=0

x》0

y’《0,

x《0

当x》0,y’》0,函数单调递增，增区间为（0，+无穷）

当x《0,y’《0,函数单调递减，减区间为（-无穷，0）

证明（arccosx）’=-1/根号1减去x的平方的求导公式

设y=arccosx,
x∈(-1,1),
y∈(0,
π)
则x=cosy,
由反函数求导公式可知
dy/dx=1/(dx/dy)
且dx/dy=-siny
siny=√(1-x²)》0，因为y是一，二象限的角
从而有dy/dx=-1/siny=-1/√(1-x²)
不懂可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！
再看看别人怎么说的。

关于arctan x的详细求导过程

(atctanx)’=1/(tany)’=1/sec^2y=1/(1+tan^2y)=1/(1+x^2)
利用反函数求导法则
lim(h--》0)(arctan(x+h)-arctanx)/h
令arctan(x+h)-arctanx=u
,tanu=h/
h=(1+x^2)tanu/(1-xtanu)
=limu(1-xtanu)/(1+x^2)tanu=1/(1+x^2)
tanu等价u
Arctangent（即arctan）指反正切函数，反正切函数是反三角函数的一种，即正切函数的反函数。一般大学高等数学中有涉及。

arctan怎么求导等于1/（1+x^2）

1. 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+....

2. 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....(把-x^2带入第一个里面）。

3. 因为arctan的导数等于1/(1+x^2)，

4. 所以arctan的泰勒展开式是1-x^2+x^4-x^6+....的antiderivative，也就得到arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 +....

拓展资料：

arctan指反正切函数，反正切函数是反三角函数的一种，即正切函数的反函数，一般大学高等数学中有涉及。

证明arcsinx 的导数，要过程！

y = arcsinx
siny = x，cosy = √(1-sin²y) = √(1 - x²)
dy/dx * cosy = 1
dy/dx = 1 / cosy
= 1 / √(1 - x²)

反函数导数的计算题，要详细过程

新年好！恭贺新春佳节！Happy Chinese New Year ！

1、楼主的讲义上的解法，平心而论，并无大错，是正确的。

2、但是讲义的编者，学风是有很大问题的：

      A、我们的大学教师、教授，100个当中，至少有99个半是大大咧咧一辈子的，

            他们从不研究教学心理学，不讲究教学法。学生学不好，都是学生的错。

      B、他们大大咧咧、咋咋呼呼的地方不胜枚举。就本题而言，几乎所有的教师，

            都懒惰成癖，永远莫名其妙地一撇，y‘，就是不原意写成dy/dx，丝毫不研

            究为什么国际教学，都是踏踏实实地dy/dx？y’ 虽然没有错，这是当年拉格

            朗日发明的方法，dy/dx 是莱布尼兹发明的写法，Dy 是欧拉发明的、、、

            这些以及导数证明的方法、epsilon-delta method等等等等，都不是牛顿发

            明的，但仍旧归功于他，因为西瓜永远靠大边。

      C、y’ 的写法是对的，但是用得太多、太滥、太压倒性，结果很多学生对y‘的真

            正意思，反而搞不清了，不管什么问题，拿到手，不管三七二十一，胡乱

            一撇，本能的悟性、直觉都统统消失了。

3、讲义上是一会儿用导数的概念，一会儿用微分的概念，所以楼主才会被搞懵了。

4、下面的图片解答，给出了具体详细的步骤跟解释，点击放大后图片会更加清晰。

y=（1/2）ln（（1-x）/（1+x）） 反函数的导数

y=（1/2）ln((1-x)/(1+x))的反函数是双曲正切y=th(x)，它的导数是y=1/ch(x)^2
具体请参考同济大学版《高等数学》
双曲余弦ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2
双曲正切th(x)=(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))