常见的指数函数模型有哪几种（高一数学必修1第一章知识点归纳）

本文目录

• 高一数学必修1第一章知识点归纳
• 在半对数模型和双对数模型中，参数代表的意义有变化么
• 数学模型的特点与分类
• 函数有哪几种类型
• 指数函数有什么特点

高一数学必修1第一章知识点归纳

【 #高一# 导语】以下是 考 网为大家推荐的有关高一数学必修1第一章知识点归纳，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与支持！

　　 一：函数模型及其应用

　　本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

　　1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

　　2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。

　　常见考法：

　　本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。

　　误区提醒：

　　1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

　　2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。

　　【典型例题】

　　例1：

　　(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利).

　　(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?解：(1)利息=本金×月利率×月数.y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，∴5个月后的本息和为101.8元.

　　例2：

　　某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)

　　(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。

　　(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得利润，其利润约为多少万元。(精确到1万元)。

　　 二：幂函数

　　定义：

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　定义域和值域：

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

　　性质：

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)，

　　当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x》0，则a可以是任意实数;

　　排除了为0这种可能，即对于x《0和x》0的所有实数，q不能是偶数;

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

　　可以看到：

　　(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

　　(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

　　(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

　　(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

　　(6)显然幂函数*。

　　 三：对数函数

　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　(2)对数函数的值域为全部实数集合。

　　(3)函数总是通过(1，0)这点。

　　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　　(5)显然对数函数*。

在半对数模型和双对数模型中，参数代表的意义有变化么

有。

所有的变量都取对数就是双对数模型，反之，如果模型中有变量没取对数，那就是半对数模型。一般双对数用来描述弹性的（表式增量）

根据半对数模型，x1每增加一个单位，y是增加0.3%个单位，双对数模型：lny=a+b*lnx+u，x每增加1%，y平均增加b%。半对数模型：y=a+b*lnx+u，x每增加1%，y平均增加b个单位。半对数模型：lny=a+b*x+u，x每增加1个单位，y平均增加b%。

扩展资料：

注意事项：

1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

2、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

3、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。

4、多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。

数学模型的特点与分类

数学模型的特点与分类如下：

将实际问题抽象为数学符号和公式的形式化表达，以便对问题进行定量分析和求解。目前，数学模型被广泛应用于科学研究、经济管理、社会政策等领域。下面，将详细介绍数学模型的分类以及其特点。

1.静态模型和动态模型

根据时间因素的不同，数学模型可以分为静态模型和动态模型两种。静态模型是指在某一相对固定的时间点上建立的模型，而动态模型则是针对时间流程性问题而建立的模型。静态模型更适合于简单的问题，而动态模型则更适合于需要考虑时间因素的问题。

2.确定性模型和随机模型

根据变量所受影响的程度和随机性质，数学模型可分为确定性模型和随机模型两种。确定性模型一般假设所有的参量都是确定的而不受随机因素影响的，例如线性规划模型、多项式拟合模型等。而随机模型则涉及到概率与统计的范畴，包括随机过程、马尔可夫模型、蒙特卡罗模拟等。

3.非线性模型和线性模型

根据变量之间的函数关系，数学模型可分为非线性模型和线性模型两种。线性模型的特点是变量之间的关系可以用简单线性方程表示，如一次函数、二次函数等。

而非线性模型则表现为变量之间的函数关系不是线性的，无法用简单的线性方程表示，这类模型包括指数函数、对数函数、三角函数等。

4.离散模型和连续模型

根据变量的取值方式，数学模型可分为离散模型和连续模型两种。连续模型是指变量的取值在某一范围内均匀连续，如微积分中的导数和积分问题。而离散模型则是指变量只能取有限或离散的值，比如网络最短路径问题、整数规划问题等。

5.静态描述模型和动态过程模型

根据其描述被建立对象的时间因素，数学模型可分为静态描述模型和动态描述过程模型。静态描述模型用来描述某一瞬间存在的状态或对象，如流量平衡方程、盈利表等等。而动态描述过程模型则着眼于变化过程的演化关系，如差分方程、微分方程、动态规划等等。

综上所述，数学模型是一种把实际问题抽象为数学符号和模型形式，以便对问题进行定量分析和求解的工具。数学模型的种类繁多，我们需要根据问题的特点、需求和条件等因素，选择相应类型的数学模型进行建模与分析，以更好地解决实际问题。

函数有哪几种类型

常见函数类型有：一次函数、二次函数、三次函数、四次函数；基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。

精确地说，设X为一个非空集合，Y为非空数集，f为对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数。

函数有许多种，在高中阶段的函数包括：

1、一次函数y=ax+b

2、二次函数y=ax2+b

3、指数函数

4、对数函数

5、幂函数

6、三角函数

指数函数有什么特点

如图：指数函数图像永远在x轴上方，函数值恒大于0，定义域是R，在定义域内单调递增。

函数图像恒过（0,1）点，函数图像是凹函数。

拓展资料

指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数，叫做指数函数。指数函数恒过（0,1）点，函数值恒大于0

a》1时候，指数函数单调递增；a∈（0,1）时候，指数函数单调递减。