舍选法生成随机数（舍选抽烟法原理）

本文目录

• 舍选抽烟法原理
• 如何根据概率密度函数生成随机数
• 岩土可靠性理论主要包括哪些内容
• 舍选抽样法对3x^（2）/2产生随机数
• 急求R语言有关问题
• matlab中如何按照 给定的概率密度函数 产生随机数呢
• 给定一个函数如何找到这个函数生成子空间的补空
• 自学考试“管理科学”名词解释
• 正态分布形成的原理

舍选抽烟法原理

舍选抽样法原理是使用一个简单区域包含目标区区域，然后在这个简单区域上使用均匀分布生成随机数，再对随机数进行判断，是否落在目标区域内。舍选抽样法(acceptancerejectionsamplingmethod)，一种抽样方法。是产生具有如下积分形式分布的样本的一种方法。

如何根据概率密度函数生成随机数

如何根据概率密度函数生成随机数
我这里并不是要讲“伪随机”、“真随机”这样的问题，而是关于如何生成服从某个概率分布的随机数（或者说 sample）的问题。比如，你想要从一个服从正态分布的随机变量得到 100 个样本，那么肯定抽到接近其均值的样本的概率要大许多，从而导致抽到的样本很多是集中在那附近的。当然，要解决这个问题，我们通常都假设我们已经有了一个 生成 0 到 1 之间均匀分布的随机数的工具，就好像 random.org 给我们的结果那样，事实上许多时候我们也并不太关心它们是真随机数还是伪随机数，看起来差不多就行了。 :p
现在再回到我们的问题，看起来似乎是很简单的，按照概率分布的话，只要在概率密度大的地方多抽一些样本不就行了吗？可是具体要怎么做呢？要真动起手 来，似乎有不是那么直观了。实际上，这个问题曾经也是困扰了我很久，最近又被人问起，那我们不妨在这里一起来总结一下。为了避免一下子就陷入抽象的公式推 导，那就还是从一个简单的具体例子出发好了，假设我们要抽样的概率分布其概率密度函数为 p(x) = \frac{1}{9}x^2 ，并且被限制在区间 上，如右上图所示。
好了，假设现在我们要抽 100 个服从这个分布的随机数，直观上来讲，抽出来的接近 3 的数字肯定要比接近 0 的数字要多。那究竟要怎样抽才能得到这样的结果呢？由于我们实际上是不能控制最原始的随机数生成过程的，我们只能得到一组均匀分布的随机数，而这组随机数 的生成过程对于我们完全是透明的，所以，我们能做的只有把这组均匀分布的随机数做一些变换让他符合我们的需求。找到下手的点了，可是究竟要怎样变换呢？有 一个变换相信大家都是很熟悉的，假设我们有一组 之间均匀分布的随机数了，不难想象，X_1 等于某个数 x^* 的概率就是 X_0 等于 x^*/3 的概率（“等于某个数的概率”这种说法对于连续型随机变量来说其实是不合适的，不过大概可以理解所表达的意思啦）。似乎有一种可以“逆转回去”的感觉了。
于是让我们来考虑更一般的变换。首先，我们知道 X_1 的概率密度函数是 f(x) = 1/3, x\in ，假设现在我们令 Y = \phi (X_1) ，不妨先假定 \phi(\cdot) 是严格单调递增的函数，这样我们可以求其逆函数 \phi^{-1}(\cdot) （也是严格单调递增的）。现在来看变换后的随机变量 Y 会服从一个什么样的分布呢？
这里需要小心，因为这里都是连续型的随机变量，并不像离散型随机变量那样可以说成“等于某个值的概率”，因此我们需要转换为概率分布函数来处理，也就是求一个积分啦：
\displaystyle F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt
那么 X_1 的概率分布函数为 F(x) = \frac{1}{3}x 。很显然 Y 小于或等于某个特定的值 y^* 这件事情是等价于 X_1=\phi^{-1}(Y)\leq\phi^{-1}(y^*) 这件事情的。换句话说，P(Y\leq y^*) 等于 P(X_1 \leq \phi^{-1}(y^*)) 。于是，Y 的概率分布函数就可以得到了：
\displaystyle G(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq \phi^{-1}(y)) = F(\phi^{-1}(y))
再求导我们就能得到 Y 的概率密度函数：
\displaystyle g(y) = \frac{dG(y)}{dy} = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)
这样一来，我们就得到了对于一个随机变量进行一个映射 \phi(\cdot) 之后得到的随即变量的分布，那么，回到我们刚才的问题，我们想让这个结果分布就是我们所求的，然后再反推得 \phi(\cdot) 即可：
\displaystyle \frac{1}{9}y^2 = g(y) = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y) = \frac{1}{3}\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)
经过简单的化简就可以得到 \phi^{-1}(y) = \frac{1}{9} y^3 ，亦即 \phi(x) = (9x)^{1/3} 。也就是说，把得到的随机数 X_1 带入到到函数 \phi(\cdot) 中所得到的结果，就是符合我们预期要求的随机数啦！ :D 让我们来验证一下：
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#!/usr/bin/python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plot N = 10000 X0 = np.random.rand(N) X1 = 3*X0 Y = np.power(9*X1, 1.0/3) t = np.arange(0.0, 3.0, 0.01) y = t*t/9 plot.plot(t, y, ’r-’, linewidth=1) plot.hist(Y, bins=50, normed=1, facecolor=’green’, alpha=0.75)plot.show()
这就没错啦，目的达成啦！让我们来总结一下。问题是这样的，我们有一个服从均匀分布的随机变量 X ，它的概率密度函数为一个常数 f(x)=C ，如果是 上的分布，那么常数 C 就直接等于 1 了。现在我们要得到一个随机变量 Y 使其概率密度函数为 g(y) ，做法就是构造出一个函数 \phi(\cdot) 满足（在这里加上了绝对值符号，这是因为 \phi(\cdot) 如果不是递增而是递减的话，推导的过程中有一处就需要反过来）
\displaystyle g(y) = f(\phi^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right| = C\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right|
反推过来就是，对目标 y 的概率密度函数求一个积分（其实就是得到它的概率分布函数 CDF ，如果一开始就拿到的是 CDF 当然更好），然后求其反函数就可以得到需要的变换 \phi(\cdot) 了。实际上，这种方法有一个听起来稍微专业一点的名字：Inverse Transform Sampling Method 。不过，虽然看起来很简单，但是实际操作起来却比较困难，因为对于许多函数来说，求逆是比较困难的，求积分就更困难了，如果写不出解析解，不得已只能用数 值方法来逼近的话，计算效率就很让人担心了。可事实上也是如此，就连我们最常见的一维标准正态分布，也很难用这样的方法来抽样，因为它的概率密度函数
\displaystyle g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}
的不定积分没有一个解析形式。这可真是一点也不好玩，费了这么大劲，结果好像什么都干不了。看来这个看似简单的问题似乎还是比较复杂的，不过也不要灰心，至少对于高斯分布来说，我们还有一个叫做 Box Muller 的方法可以专门来做这个事情。因为高斯分布比较奇怪，虽然一维的时候概率分布函数无法写出解析式，但是二维的情况却可以通过一些技巧得出一个解析式来。
首先我们来考虑一个二维的且两个维度相互独立的高斯分布，它的概率密度函数为
\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}
这个分布是关于原点对称的，如果考虑使用极坐标 (\theta,r) （其中 \theta\in[0,2\pi), r\in[0,\infty) ）的话，我们有 x = r\cos\theta，y=r\sin\theta 这样的变换。这样，概率密度函数是写成：
\displaystyle f(\theta,r) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}
注意到在给定 r 的情况下其概率密度是不依赖于 \theta 的，也就是说对于 \theta 来说是一个均匀分布，这和我们所了解的标准正态分布也是符合的：在一个圆上的点的概率是相等的。确定了 \theta 的分布，让我们再来看 r，用类似于前面的方法：
\displaystyle \begin{aligned} P(r《R) &= \int_0^{2\pi}\int_0^R\frac{1}{2\pi}e^{\frac{r^2}{2}}rdrd\theta \ &= \int_0^Re^{-\frac{r^2}{2}}rdr \ &= 1-e^{-\frac{R^2}{2}} \end{aligned}
根据前面得出的结论，我现在得到了 r 的概率分布函数，是不是只要求一下逆就可以得到一个 \phi(\cdot) 了？亦即 \phi(t) = \sqrt{-2\log (1-t)} 。
现在只要把这一些线索串起来，假设我们有两个相互独立的平均分布在 上的随机变量 T_1 和 T_2 ，那么 2\pi T_1 就可以得到 \theta 了，而 \phi(T_2) = \sqrt{-2\log(1-T_2)} 就得到 r 了（实际上，由于 T_2 和 1-T_2 实际上是相同的分布，所以通常直接写为 \sqrt{-2\log T_2}）。再把极坐标换回笛卡尔坐标：
\displaystyle \begin{aligned} x = r\cos\theta & = \sqrt{-2\log T_2}\cdot \cos(2\pi T_1) \ y = r\sin\theta &= \sqrt{-2\log T_2}\cdot \sin(2\pi T_1) \end{aligned}
这样我们就能得到一个二维的正态分布的抽样了。可以直观地验证一下，二维不太好画，就画成 heatmap 了，看着比较热的区域就是概率比较大的，程序如下：
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#!/usr/bin/python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plot N = 50000 T1 = np.random.rand(N) T2 = np.random.rand(N) r = np.sqrt(-2*np.log(T2)) theta = 2*np.pi*T1 X = r*np.cos(theta) Y = r*np.sin(theta) heatmap, xedges, yedges = np.histogram2d(X, Y, bins=80) extent = plot.imshow(heatmap, extent=extent) plot.show()
画出来的图像这个样子：
不太好看，但是大概的形状是可以看出来的。其实有了二维的高斯分布，再注意到两个维度在我们这里是相互独立的，那么直接取其中任意一个维度，就是一个一维高斯分布了。如下：
如果 X\sim N(0,1) 即服从标准正态分布的话，则有 \sigma X+\mu \sim N(\mu, \sigma^2) ，也就是说，有了标准正态分布，其他所有的正态分布的抽样也都可以完成了。这下总算有点心满意足了。不过别急，还有最后一个问题：多元高斯分布。一般最常 用不就是二元吗？二元不是我们一开始就推出来了吗？推出来了确实没错，不过我们考虑的是最简单的情形，当然同样可以通过 \sigma X+\mu 这样的方式来处理每一个维度，不过高维的情形还有一个需要考虑的就是各个维度之间的相关性——我们之前处理的都是两个维度相互独立的情况。对于一般的多维正态分布 X\sim N(\mathbf{\mu}, \Sigma) ，如果各个维度之间是相互独立的，就对应于协方差矩阵 \Sigma 是一个对角阵，但是如果 \Sigma 在非对角线的地方存在非零元素的话，就说明对应的两个维度之间存在相关性。
这个问题还是比较好解决的，高斯分布有这样的性质：类似于一维的情况，对于多维正态分布 X\sim N(\mathbf{\mu}, \Sigma)，那么新的随机变量 X_1=\mathbf{\mu}_1 + LX 将会满足
\displaystyle X_1 \sim N(\mathbf{\mu}_1+L\mu, L\Sigma L^T)
所以，对于一个给定的高斯分布 N(\mathbf{\mu}, \Sigma) 来说，只要先生成一个对应维度的标准正态分布 X\sim N(0, I) ，然后令 X_1 = \mu+LX 即可，其中 L 是对 \Sigma 进行 Cholesky Decomposition 的结果，即 \Sigma = LL^T 。
结束之前让我们来看看 matlab 画个 3D 图来改善一下心情：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
N = 50000; T1 = rand(1, N); T2 = rand(1, N); r = sqrt(-2*log(T2)); theta = 2*pi*T1; X = =meshgrid(c{1}, c{2}); figure; surfc(x,y,-z);
下面两幅图，哪幅好看一些（注意坐标比例不一样，所以看不出形状和旋转了）？似乎都不太好看，不过感觉还是比前面的 heatmap 要好一点啦！
然后，到这里为止，我们算是把高斯分布弄清楚了，不过这只是给一个介绍性的东西，里面的数学推导也并不严格，而 Box Muller 也并不是最高效的高斯采样的算法，不过，就算我们不打算再深入讨论高斯采样，采样这个问题本身也还有许多不尽人意的地方，我们推导出来的结论可以说只能用 于一小部分简单的分布，连高斯分布都要通过 trick 来解决，另一些本身连概率密度函数都写不出来或者有各种奇怪数学特性的分布就更难处理了。所以本文的标题里也说了，这是上篇，如果什么时候有机会抽出时间 来写下篇的话，我将会介绍一些更加通用和强大的方法，诸如 Rejection Sampling 、Gibbs Sampling 以及 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 等方法。如果你比较感兴趣，可以先自行 Google 一下解馋！ :D

岩土可靠性理论主要包括哪些内容

　　岩土可靠性理论主要包括岩土参数的统计分析、荷载和自然条件的统计分析、概率极限状态方程、土坡稳定的概率分析、地基稳定性的概率分析、变形问题的概率分析以及系统可靠性分析与优化决策。
　　 岩土工程学科属土木工程一级学科，服务于建筑工程、水利工程、交通工程和地下工程等领域。岩土工程学科以研究水利水电工程和交通工程中的岩土工程问题为特色，包括高土石坝、高边坡、地下洞室中的应力、变形、渗流、稳定、流变、抗震以及高速公路与铁路、城市地铁与轻轨工程中的软基加固、深基础、盾构施工技术等内容。研究方向涉及到岩土体基本特性及土与结构相互作用、土动力学与工程抗震、软基处理与基础工程、岩石力学与岩体工程和岩土渗流理论与测试技术等内容。
　　地上、地下和水中的各类工程统称土木工程。土木工程中涉及岩石、土、地下水的部分称岩土工程。岩土工程专业是土木工程的分支，是运用工程地质学、土力学、岩石力学解决各类工程中关于岩石、土的工程技术问题的科学。
　　按照工程建设阶段划分，工作内容可以分为：岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程治理、岩土工程监测、岩土工程检测。
　　，

舍选抽样法对3x^（2）/2产生随机数

1 均匀分布《pre t="code" l="cpp"》int normal_rand(int m, int n)
{
return rand()%(n-m+1)+m;
}2 指数分布：
《pre t="code" l="cpp"》double exp_rand(int m, int n)
{
int x;
double U,G;
x=rand();
U=x/(double)(n-m+1);
G=-log(1-U)/t+m;
return G;
}

急求R语言有关问题

truncate是什么意思？ 我理解为只取那些取值在2 3之间的随机数
方法一：
反函数法
temp《-rep(0,1000) #temp是长度1000的数组
i《-1
while (i《=1000)
{
a《-runif(1) #生成0 1之间的均匀分布的随机数
b《-log(1-a)/(-2) #转为满足指数分布的随机数
if ((b《=3)&(b》2))
{
temp《-b
i=i+1
}
}
方法二：
舍选法
temp《-rep(0,1000) #temp是长度1000的数组
i《-1
while (i《=1000)
{
a《-runif(1) #生成0 1之间的均匀分布的随机数
b《-runif(1,min=0,max=10)
#生成0 10之间的均匀分布的随机数
if ((exp(-2*b)》=a)&(b《=3)&(b》2))
{
temp《-b
i=i+1
}
}

matlab中如何按照 给定的概率密度函数 产生随机数呢

可以看一些关于舍选法，反变换法。
就是通过一些变换，将均匀随机数，变成一定概率密度的随机数。
主要还是反变换法，不过反变换法一般要求被积函数可积。
GOODLUCK

给定一个函数如何找到这个函数生成子空间的补空

可以看一些关于舍选法，反变换法。
就是通过一些变换，将均匀随机数，变成一定概率密度的随机数。
主要还是反变换法，不过反变换法一般要求被积函数可积。
GOODLUCK

自学考试“管理科学”名词解释

1、管理就是管理者运用各种资源达成某既定目标的过程。
　　2、管理科学：是一门应用多学科与多领域理论、方法、技术和知识的综合性交叉学科，其目的是研究人类利用有限资源实现组织目标的管理活动方面的动态、复杂和创新的社会行为及其规律。

　　3、管理科学的基本特征：（1）以管理决策为基点；（2）以科学方法论为依据；（3）以系统观点为指导；（4）以数学模型为主要工具。

　　4、图解法只能用于两个变量的情况，并得到两个重要结论：（1）线性规划的约束集合是凸多面体；（2）线性规划若有解，则解一定能在凸多面体的角点（定点）上达到。

　　5、基本解：假设B为线性规划问题的基，对约束系数矩阵A目标函数系数响亮C，决策向量X进行分块处理，则有：A=（B，N）， C=（CB，CN）， X=T，则称X为基B下的基本解。

　　6、线性整数规划：限制部分决策变量或全部决策变量只能取整数的线性规划。

　　7、非线性规划：目标或约束中含有非线性函数的优化问题成为非线性规划。

　　8、梯度：若f（X）在X0的领域内有连续一阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元的偏导数组成的向量为f（X）在X0的梯度，记为▽f（X0）

　　9、海赛阵：若f（X）在X0的领域内有连续二阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为f（X）在X0的海赛阵，记为H（X0）

　　10、多目标规划解法的基本思想：利用一个复合函数将多目标问题转化为单目标问题求解。

　　11、图与网络具有的两个基本要素：一是被研究的对象，通常用点来表示；二是所研究对象之间的某种特定关系，通常用点与点之间的连线表示

　　12、边：两点之间不带箭头的联线 由点及边构成的图称之为无向图

　　13、弧：两点之间带箭头的联线 由点及弧构成的图称之为有向图

　　14、网络：在有向图D=（V，A）中，Vs为起点，Vt为终点，而对每一弧（Vi， Vj）∈A赋以量cij》0称为弧的容量，则称这样的有向图为一个网络，记为D=（V，A，C）

　　15、树：一个无圈的连通图

　　16、Dijkstra方法是求解最短路问题的一种有效方法

　　17、网络图的组成要素：箭线、结点和线路

　　18、确定型决策：这类决策问题只可能出现一种确定的自然状态，每个行动方案在这的自然状态下的结局是可以计算出来的

　　19、风险型决策：这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，每一个行动方案在不同自然状态下有不同的结局，且能预先估计出各个自然状态出现的概率

　　20、完全不确定型决策； 这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，但在这类决策问题中，不能预先估计出各个自然状态出现的概率，所以称之为完全不确定型决策

　　21、决策树：是一种由结点和分支构成的由左向右横向展开的树状图形

　　22、贝叶斯决策分三步走：先验分析、预验分析、后验分析

　　23、效用值是风险下损益值在决策者心目中的满意程度的衡量尺度

　　24、一般来讲，库存量不足会造成缺货损失，而库存量过大又会造成物质积压，库存费用增大，流动资金占用过大

　　25、补充就是储存系统的输入

　　26、状态：过程各阶段所处的“位置”称为状态

　　27、某阶段初装台决定后，从这状态向下一阶段哪个状态演变的选择称为决策

　　28、前一阶段的状态和决策决定了下一阶段的状态，它们之间的关系称为状态转移

　　29、由阶段k=1至阶段k=n的全过程中，由每个阶段所选择的决策构成一决策序列，称之为一个策略

　　30、层次分析法（简称AHP）是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代中期提出的，它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。

　　31、对策问题的几个基本要素：局中人、策略、局势、得失值
　　32、局中人：对策中有决策权的参加者

　　33、策略与策略集合：一局对策中，把局中人的一个可行的行动方案称为他的一个策略。策略可以只含有一步行动方案。在比较复杂的对策中，可以是由始至终指导行动的一系列步骤组成，通常一个局中人有好几个策略可供选择，把局中人的策略全体叫策略集合

　　34、局势：当每个局中人从各自策略集合中选择一策略而组成的策略组称为一个局势

　　35、得失值：是指局中人选定某局势后相应的收益值

　　36、二人有限零和对策的特点：

　　（1）对策中只有两个局中人，双方的策略集均是有限集

　　（2）在零和对策中，双方收益之和为零，甲的收益就是乙的损失，因此，二人有限零和对策又称矩阵对策

　　37、当两个局中人甲和乙的得与失不为零的非零和情形下，对问题的一般描述就必须同时考虑甲的支付矩阵和乙的支付矩阵，这种对策称为二人有限非零和对策，又称为双矩阵对策

　　38、定理1：任何双矩阵对策至少存在一个平衡局势

　　39、排队系统的基本组成部分主要有输入过程、排队规则、服务机构

　　40、排队规则分三种类型：损失制、等待制、混合制

　　41、等待制分为：先到先服务（FCFS）、后到先服务（LCFS）、具有优先权的服务（PS）

　　42、排队模型的表示：X/Y/Z，其中X表示顾客到达时间的间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示并列的服务台的个数

　　43、M表示负指数分布；Ek表示k阶爱尔朗分布；D表示定长分布；G表示一般分布

　　44、举例：M/M/1表示顾客到达的间隔时间服从负指数分布、服务台的服务时间也服从负指数分布和单服务台的模型

　　45、泊松流的输入满足条件：

　　（1）无后效性，即在不相交的时间区间内到达的顾客数是相互独立的；

　　（2）平稳性，即在＝1}≈λΔt（记为P1（Δt）≈λΔt）；

　　（3）普通性，也称稀有性，即在瞬间内只可能有1个顾客到达，也即对充分小的Δt，ΣPn（Δt ）＝0，n取2到正无穷。

　　46、正规概率矩阵：对于任一概率矩阵P，若存在m，使Pm（m为大于1的正整数）的所有元素都是正数，则称P为正规概率矩阵

　　47、随机过程：是指依赖于一个变动参数t的一族随机变量{X（t），t∈T}.变动参数t所有可以取值的集合T称为参数空间。T（t）的值所构成的集合S称为随机过程的状态空间。按S和T是离散集或非离散集可将随机过程分为四类。这类过程的特点是：若已知在时间t系统处于状态X的条件下，在时刻τ（τ》t）系统所处的状态与时刻t以前系统所处的状态无关，此过程称为马尔可夫过程。

　　48、马尔可夫链：设{Xn，n=0，1，2，……}是一个随机变量序列，用“Xn＝i”表示时刻n系统处于状态i这一事件，称pij（n）=p（Xn+1=j|Xn=i）为在事件“Xn＝i”出现的条件下，事件“Xn+1=j”出现的条件概率，又称它为系统的一步转移概率。若对任意的非负整数i1、i2、……in－1、i、j及一切n≥0，有p（Xn+1=j|Xn=i，Xk=ik，k=1，2，……，n-1）= p（Xn+1=j|Xn=i）= pij（n），则称{Xn}是一个马尔可夫链。

　　49、齐次马尔可夫链：若系统无论何时从状态i出发，经k步转移到状态j的概率都相同，即有下式成立：p（Xs+k=j|Xs=i）= p（Xk+1=j|X1=i），其中，i、j、k皆为正整数，s为任一正整数，则称此马尔可夫链为齐次马尔可夫链。

　　50、稳态概率的概念见书本P297

　　51、稳态概率分布具有的性质：

　　（1）稳态概率分布与初始概率分布无关；

　　（2）若马尔可夫链是标准的，即它的转移概率矩阵P是一个正规随机矩阵，则存在一个概率向量λ*=T满足PTλ*=λ*，λ*j即为状态j的稳态概率，λ*为稳态概率向量

　　52、对于马尔可夫链的状态i，如果pii＝1，即到达状态i后，永久停留在i，不可能再转移到其他任何状态，那么，就称i状态为吸收状态或称为吸收态，否则为非吸收态。

　　53、若一个马氏链至少有一个吸收态，且任何一个非吸收态到吸收态是可能的（不必是一步），则称此马氏链为吸收马尔可夫链。

　　54、模拟：又称仿真，是一种基于数值方法对系统进行分析的技术。它首先为所要研究的系统设计一个模型，通过试验对系统状态的变化进行观察和统计，从而得到系统的基本性能。

　　55、模拟过程的步骤：

　　（1）问题识别

　　（2）建立模型

　　（3）模拟

　　（a）确定随机变量及其分布

　　（b）产生均匀分布的随机数

　　（c）产生随机变量的模拟数据

　　（d）模型演算

　　（4）结果分析

　　56、模拟数据的产生方法：逆转换法、组合法、近似法、舍选法

正态分布形成的原理

首先，基本上每个人的学习都是相互独立的，所以可认为n个人的成绩是n个相互独立的随机变量X1，X2.....Xn，同时他们具有自己的数学期望和方差（每个人参加多次考试的成绩都会有所波动嘛),所以满足中心极限定理二李雅谱诺夫定理的条件，故无论各个随机变量服从什么分布，在满足上述定理的条件下，当人数较多时，即n较大时，ΣX就近似的服从正态分布。所以无论每个人的学习情况怎么样，总体是近似正太分布的。
正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R软件及一维正态随机数的检验。
正态分布；一维；随机数。
一．利用中心极限定理
中心极限定理：（一般 n≥10），
产生服从N(μ,σ)的算法步骤：
（1）产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn；
计算x?(?ri?（2） 2)/
i?1n122;
2(3) 计算 y=σx+μ ，y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。
原理分析：
设ζ1，ζ2，…，ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi～U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E(?i)?1
，D(?i)?1,12
n??(??i?n由中心极限定理知 ：)/，渐近服从正态分布N(0, l )。
i?1n
注意：我们现在已经能产生均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r 1,r2,?,rn现在我们产生n个均匀分布随机数，
我们有： ?1n1?u?n?r??n?i2???i?1?
为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： u??ri?6
i?112
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在C语言中表示为：
例1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X’;
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, )
结果为：H=0, 接受原假设，变换后的确为标准正态分布。
二．Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为：
2a?ay?ay012 x?y?1?b1y?b2y2?b3y3
y?(?2lnr)1/2,r~U(0,1)，系数为： 这里
a0 = 2.515517 b1 = 1.432788
a1 = 0.802853 b2 = 0.189269
a2 = 0.010328 b3 = 0.001308
三．利用统计工具箱
在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四．反函数法
设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.
算法:
（1）产生n个RND 随机数r1，r2，…，rn；
从等式ri??f(y)dy中解出yi;所得（2） ??yiyi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理：
设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数，而且随机变量X～U(0,1)，令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。
证明 ：FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)
因G(x)是随机变量X 的分布函数：
?0,?G(x)??x,
?1, ?－1－1 x?0;0?x?1;1?x.
－1Y若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F(X)可得： X?F(Y)??f(y)dy??
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri，则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
if(y)dy解出。 ri????y
五．舍选法
基本思想：
实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在实数a《b，使P{a《X《b}=1。 算法步骤：
(1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)；
(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令y= a＋(b－a)r1 ；
(3) 若r2≤λf(y)，则令x=y；否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的分布由概率函数 f(x) 确定。
舍选法算法原理分析：
设P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度为f(z),
（1）选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)；
（2）随机变量X1，X2相互独立Xi～U(0, 1),令Y1=a+(b－a)X1～U(a, b);
（3）若X2≤λf(Y1)，则令X = Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)； 则随机变量X的分布与Z相同。
b注： 若不满足条件：?f(x)dx?1,a
可选取有限区间(a1, b1)，使得 ?a1f(x)dx?1??（ε是很小的正数） 例如，取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ(x??)2?e2dx?1?0.003，有a12??b1?b1
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。
六．R软件
利用R软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分布函数，q-求分位点，r产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。
设：随机数具有连续的分布函数F（X），则随机变量R=（X）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理：
X1,X2,?,Xn为 随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义：设
记为：
S?S(X1,X2,?,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量，它们就应该有其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。
我们的统计推断方式是：
（1）H0：某假定成立；
（2）在假定成立的条件下构造统计量S；
（3）统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数，或密度函数各阶矩等；
（4）根据统计量的分布，在给定的显著性水平α，对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域，该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件，在一次实验中我们认为是不可能发生的。
统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：
?，和有限方差D（X）= ?2，我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E（X）=
?XN
i??