不属于模型正则化（正则化的通俗解释）

本文目录

• 正则化的通俗解释
• 很难在中使用显示的正则化
• 机器学习中「正则化来防止过拟合」到底是一个什么原理
• 正则化与拉普拉斯平滑
• L1、L2正则化知识详解
• 机器学习系列（二十四）——交叉验证与偏方差权衡
• 正则化处理
• L1、L2正则化知识详解
• 正则化详解
• L1/L2正则化方法

正则化的通俗解释

正则化的通俗解释就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。

正则化(regularization)，是指在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。正则化：代数几何中的一个概念。

形式

反问题有两种形式。最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。那些很难被解决的问题则被称为不适定的。

用途

求解不适定问题的普遍方法是：用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解，这种方法称为正则化方法。如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov 正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法，在各类反问题的研究中被广泛采用，并得到深入研究。

很难在中使用显示的正则化

正则化是一种机器学习的技术，它的目的是通过添加一些惩罚项来限制模型参数的值，以避免过拟合。正则化可以帮助模型更好地泛化到新数据，并且可以改善模型的可解释性。它还可以帮助减少模型的复杂性，从而提高模型的性能。正则化可以通过减少模型参数的数量，减少特征的数量，或者添加惩罚项来实现。

机器学习中「正则化来防止过拟合」到底是一个什么原理

过度拟合的问题通常发生在变量（特征）过多的时候。这种情况下训练出的方程总是能很好的拟合训练数据，也就是说，我们的代价函数可能非常接近于 0 或者就为 0。但是，这样的曲线千方百计的去拟合训练数据，这样会导致它无法泛化到新的数据样本中，以至于无法预测新样本价格。在这里，术语"泛化"指的是一个假设模型能够应用到新样本的能力。新样本数据是指没有出现在训练集中的数据。

具体而言，我们可以人工检查每一项变量，并以此来确定哪些变量更为重要，然后，保留那些更为重要的特征变量。至于，哪些变量应该舍弃，我们以后在讨论，这会涉及到模型选择算法，这种算法是可以自动选择采用哪些特征变量，自动舍弃不需要的变量。这类做法非常有效，但是其缺点是当你舍弃一部分特征变量时，你也舍弃了问题中的一些信息。例如，也许所有的特征变量对于预测房价都是有用的，我们实际上并不想舍弃一些信息或者说舍弃这些特征变量。正则化中我们将保留所有的特征变量，但是会减小特征变量的数量级（参数数值的大小θ(j)）。这个方法非常有效，当我们有很多特征变量时，其中每一个变量都能对预测产生一点影响。正如我们在房价预测的例子中看到的那样，我们可以有很多特征变量，其中每一个变量都是有用的，因此我们不希望把它们删掉，这就导致了正则化概念的发生。

正则化与拉普拉斯平滑

正则化 ，是一种可以改善或者减少过度拟合问题(over-fitting)的技术。
拟合： 拟合牵扯到一个泛化能力的问题，对于训练好的模型，若在训练集表现差，不必说在测试集表现同样会很差，这可能是欠拟合（under fitting）导致；若模型在训练集表现非常好，却在测试集上差强人意，则这便是过拟合（over fitting）导致的，过拟合与欠拟合也可以用 Bias（偏差） 与 Variance（方差） 的角度来解释，欠拟合会导致高 Bias ，过拟合会导致高 Variance ，所以模型需要在 Bias 与 Variance 之间做出一个权衡。

解决欠拟合的方法：
1、增加新特征，可以考虑加入进特征组合、高次特征，来增大假设空间;
2、尝试非线性模型，比如核SVM 、决策树、DNN等模型;
3、如果有正则项可以较小正则项参数;
4、Boosting ,Boosting 往往会有较小的 Bias，比如 Gradient Boosting 等.

解决过拟合的方法：
1、交叉检验，通过交叉检验得到较优的模型参数;
2、特征选择，减少特征数或使用较少的特征组合，对于按区间离散化的特征，增大划分的区间;
3、正则化，常用的有 L1、L2 正则。而且 L1正则还可以自动进行特征选择;
4、如果有正则项则可以考虑增大正则项参数;
5、增加训练数据可以有限的避免过拟合;
6、Bagging ,将多个弱学习器Bagging 一下效果会好很多，比如随机森林等.

拉普拉斯平滑
平滑 本质上讲就是希望参数每次迭代的变化不要太过于剧烈

L1、L2正则化知识详解

正则化是一种回归的形式，它将系数估计（coefficient estimate）朝零的方向进行约束、调整或缩小。也就是说，正则化可以在学习过程中降低模型复杂度和不稳定程度，从而避免过拟合的危险。

如果随机变量的概率密度函数分布为:

还有涉及极大似然估计、概率论相关的先验和后验相关概率， 为了控制篇幅， 本文就不详细介绍， wiki百科和百度百科都讲得很清楚。

正则化通过降低模型的复杂性， 达到避免过拟合的问题。 正则化是如何解决过拟合的问题的呢？从网上找了很多相关文章， 下面列举两个主流的解释方式。

如果发生过拟合， 参数θ一般是比较大的值， 加入惩罚项后， 只要控制λ的大小，当λ很大时，θ1到θn就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

原因二：从贝叶斯的角度来分析， 正则化是为模型参数估计增加一个先验知识，先验知识会引导损失函数最小值过程朝着约束方向迭代。 L1正则是拉普拉斯先验，L2是高斯先验。整个最优化问题可以看做是一个最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息，损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计。
给定训练数据, 贝叶斯方法通过最大化后验概率估计参数θ：

下面我们从最大后验估计(MAP)的方式， 推导下加入L1和L2惩罚项的Lasso和岭回归的公式。
首先我们看下 最小二乘公式的推导 （公式推导截图来自知乎大神）

为了帮助理解，我们来看一个直观的例子：假定x仅有两个属性，于是无论岭回归还是Lasso接触的w都只有两个分量，即w1,w2，我们将其作为两个坐标轴，然后在图中绘制出两个式子的第一项的”等值线”，即在(w1,w2)空间中平方误差项取值相同的点的连线。再分别绘制出L1范数和L2范数的等值线，即在(w1,w2)空间中L1范数取值相同的点的连线，以及L2范数取值相同的点的连线(如下图所示)。

岭回归与Lasso的解都要在平方误差项与正则化项之间折中，即出现在图中平方误差项等值线与正则化项等值线相交处。而由上图可以看出，采用L1范数时平方误差项等值线与正则化项等值线的交点常出现在坐标轴上，即w1或w2为0，而在采用L2范数时，两者的交点常出现在某个象限中，即w1或w2均非0。

这说明了岭回归的一个明显缺点：模型的可解释性。它将把不重要的预测因子的系数缩小到趋近于 0，但永不达到 0。也就是说，最终的模型会包含所有的预测因子。但是，在 Lasso 中，如果将调整因子 λ 调整得足够大，L1 范数惩罚可以迫使一些系数估计值完全等于 0。因此，Lasso 可以进行变量选择，产生稀疏模型。注意到w取得稀疏解意味着初始的d个特征中仅有对应着w的非零分量的特征才会出现在最终模型中，于是求解L1范数正则化的结果时得到了仅采用一部分初始特征的模型；换言之，基于L1正则化的学习方法就是一种嵌入式特征选择方法，其特征选择过程和学习器训练过程融为一体，同时完成。

机器学习系列（二十四）——交叉验证与偏方差权衡

前面我们学习了可以用测试数据集修正模型的过拟合现象，但是这样做其实是有一点问题的。每次我们用测试数据集来看模型的好坏，如果发现模型表现不好则取调整模型参数优化模型，我们相当于在针对这组测试数据集进行调参，这样最终得到的模型极有可能 针对测试数据集过拟合 的。
测试集非常非常珍贵，它相当于模型遇到的全新数据，一个真正好的机器学习模型应该对全新数据拥有很好的预测能力，因此测试数据集一般不参与模型的创建和训练过程，只在模型训练完成后做最终评价时使用。
于是之前学习中只划分训练集和测试集的方式就不合适了，解决的办法，就是将数据集划分为训练集、验证集和测试集。现在由验证集完成之前学习中测试集做的事情——调整超参数，最后用测试集来评价模型最终性能的好坏。当然验证集上也可能由于个别极端数据而导致验证集过拟合现象，为此我们有 交叉验证 。

这里是一个3折交叉验证，将训练数据等分为3份，其中2份做训练1份做验证来调参。这样可以得到3个模型，将这3个模型结果的均值作为调参的最终结果，这样做比只有一个验证集要优秀很多。下面将在手写数字数据集上用knn算法交叉验证看一下效果，首先看一下不用交叉验证的情况：

搜索结果：

不用交叉验证的情况，最优参数是k=2，p=2时，准确率达到99.2%。
使用交叉验证：

使用交叉验证搜索最优参数：

交叉验证最优参数：

交叉验证最优模型在测试集准确率：

交叉验证得到最优模型的最好的准确率一般相对于不使用交叉验证准确率都会略低，这是因为不使用交叉验证的情况下出现了过拟合现象。
交叉验证实际中不一定只分为3份，也可能更多，这里只是一个例子，相应有k折交叉验证（k-folds cross validation）。k折交叉验证相当于训练k个模型，故整体性能也会慢k倍。不过这样训练的参数会更加值得信赖，它有一个极端的情况是留一法LOO-CV（Leave-One-Out-Cross-Validation），就是k等于训练集样本个数，这样做将完全不受随机的影响，最接近模型真正的性能指标，但是计算量也将是巨大的。

不可避免的误差是客观存在的如数据本身有噪音，这样的误差算法无能为力。但是偏差和方差却可以通过一些手段进行优化。偏差产生的原因往往是对问题本身的假设不正确，如非线性数据使用线性回归，偏差一般和欠拟合是联系在一起的。方差是指数据的一点点扰动都会较大地影响模型，通常原因是使用的模型太过复杂，如高次幂多项式回归，方差一般和过拟合联系在一起，过拟合会极大引入方差。
有一些算法天生是高方差算法，如knn，非参数学习通常都是高方差算法，因为不对数据进行任何假设。有一些算法天生是高偏差算法，如线性回归，参数学习通常都是高偏差算法，因为对数据有很强的假设。偏差和方差通常是矛盾的，降低偏差会提高方差，降低方差会提高偏差。不过算法一般都可以通过调参来适当平衡偏差和方差。 机器学习的主要挑战来自于方差（解决过拟合问题）！ ，解决高方差的手段一般有以下几种：

其中模型正则化是机器学习中非常常用且非常重要的降低过拟合的手段，将在下篇介绍。

正则化处理

过拟合本质上是模型太过复杂，复杂到消弱了模型的泛化能力。由于训练数据时有限的，因此总可以通过增加参数的的方式来提升模型的复杂度，降低训练误差。可正如你学习的领域越专精，可应用的范围可能越窄，则在模型训练中就是指过拟合。

如图所示的红色曲线就是过拟合。

正则化是用于抑制过拟合方法的统称，通过动态调整模型参数的取值 来降低模型的复杂度。这是因为当一些参数的取值足够小时，参数对应的属性对结果的影响微乎其微，这在实质上去除了非相关属性的影响。

在线性回归里，最常见的正则化方式就是在损失函数中添加正则化项，而添加的正则化项往往是待估计参数的 p- 范数。将均方误差和参数的范数之和作为一个整体来进行约束优化，相当于额外添加了一重关于参数的限制条件，避免大量参数同时出现较大的取值。由于正则化的作用通常是让参数估计值的幅度下降，因此在统计学中它也被称为系数收缩方法。

w1，w2都是模型的参数，要优化的目标参数。蓝色的圆圈表示没有经过限制的损失函数在寻找最小值过程中，w的不断迭代（随最小二乘法，最终目的还是使损失函数最小）变化情况，表示的方法是等高线，z轴的值就是 E(w)。

那个红色边框包含的区域，其实就是解空间，只能在这个缩小了的空间中，寻找使得目标函数最小的w1，w2。左边图是岭回归，是由于采用了L2范数正则化项的缘故，要求两个参数的平方和小于某个固定的参数，所以是圆形。右边的LASSO，是由于采用了L1范数作为正则化项，要求两个参数的绝对值之和小于某个固定值，所以解空间是方形。

图中蓝色和红色的交点就是最优参数解，交点出现的位子取决于边界的情况，岭回归的边界是曲线，误差等值线可以在任意位置和边界相切。LASSO边界是直线，因此切点最可能出现在方形的顶点上，这就意味着某个参数的取值为0。
岭回归 ：衰减不同属性的权重，让所有属性向圆心收拢。
LASSO ：直接将某些属性的权重降为0，是对属性的过滤筛选。

当属性的数目远远大于样本的数目的高纬度统计问题，并且不少属性间还存在着相关性时，建议使用LASSO回归来属性的数目。LASSO回归会让很多属性的系数变成0，保留一些系数较大的属性，这个时候系数的取值会对结果又较大影响，因此需要对属性的取值范围进行调整，比如标准化。

当样本数远大于属性数时，岭回归更快，岭回归不会删除属性，会对属性的取值范围进行压缩，特征值小的特征向量会被压缩的很厉害，因此要求属性的取值范围差不多，这样系数差不多，压缩更有意义。

参考资料：王天一，机器学习40讲。

L1、L2正则化知识详解

正则化是一种回归的形式，它将系数估计（coefficient estimate）朝零的方向进行约束、调整或缩小。也就是说，正则化可以在学习过程中降低模型复杂度和不稳定程度，从而避免过拟合的危险。

如果随机变量的概率密度函数分布为:

还有涉及极大似然估计、概率论相关的先验和后验相关概率， 为了控制篇幅， 本文就不详细介绍， wiki百科和百度百科都讲得很清楚。

正则化通过降低模型的复杂性， 达到避免过拟合的问题。 正则化是如何解决过拟合的问题的呢？从网上找了很多相关文章， 下面列举两个主流的解释方式。

如果发生过拟合， 参数θ一般是比较大的值， 加入惩罚项后， 只要控制λ的大小，当λ很大时，θ1到θn就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

原因二：从贝叶斯的角度来分析， 正则化是为模型参数估计增加一个先验知识，先验知识会引导损失函数最小值过程朝着约束方向迭代。 L1正则是拉普拉斯先验，L2是高斯先验。整个最优化问题可以看做是一个最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息，损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计。
给定训练数据, 贝叶斯方法通过最大化后验概率估计参数θ：

下面我们从最大后验估计(MAP)的方式， 推导下加入L1和L2惩罚项的Lasso和岭回归的公式。
首先我们看下 最小二乘公式的推导 （公式推导截图来自知乎大神）

为了帮助理解，我们来看一个直观的例子：假定x仅有两个属性，于是无论岭回归还是Lasso接触的w都只有两个分量，即w1,w2，我们将其作为两个坐标轴，然后在图中绘制出两个式子的第一项的”等值线”，即在(w1,w2)空间中平方误差项取值相同的点的连线。再分别绘制出L1范数和L2范数的等值线，即在(w1,w2)空间中L1范数取值相同的点的连线，以及L2范数取值相同的点的连线(如下图所示)。

岭回归与Lasso的解都要在平方误差项与正则化项之间折中，即出现在图中平方误差项等值线与正则化项等值线相交处。而由上图可以看出，采用L1范数时平方误差项等值线与正则化项等值线的交点常出现在坐标轴上，即w1或w2为0，而在采用L2范数时，两者的交点常出现在某个象限中，即w1或w2均非0。

这说明了岭回归的一个明显缺点：模型的可解释性。它将把不重要的预测因子的系数缩小到趋近于 0，但永不达到 0。也就是说，最终的模型会包含所有的预测因子。但是，在 Lasso 中，如果将调整因子 λ 调整得足够大，L1 范数惩罚可以迫使一些系数估计值完全等于 0。因此，Lasso 可以进行变量选择，产生稀疏模型。注意到w取得稀疏解意味着初始的d个特征中仅有对应着w的非零分量的特征才会出现在最终模型中，于是求解L1范数正则化的结果时得到了仅采用一部分初始特征的模型；换言之，基于L1正则化的学习方法就是一种嵌入式特征选择方法，其特征选择过程和学习器训练过程融为一体，同时完成。

正则化详解

机器学习模型需要拥有很好地泛化能力来适应训练集中没有出现过的新样本。在机器学习应用时，我们经常会遇到过度拟合(over-fitting)的问题，可能会导致训练出来的模型效果很差。接下来，我们将谈论的正则化(regularization)技术，它可以改善或者减少过度拟合问题，以使学习算法更好实现。

机器学习中一个重要的话题便是模型的泛化能力，泛化能力强的模型才是好模型，对于训练好的模型，若在训练集表现差，不必说在测试集表现同样会很差，这可能是欠拟合（under fitting）导致；若模型在训练集表现非常好，却在测试集上差强人意，则这便是过拟合（over fitting）导致的，过拟合与欠拟合也可以用 Bias 与 Variance 的角度来解释，欠拟合会导致高 Bias ，过拟合会导致高 Variance ，所以模型需要在 Bias 与 Variance 之间做出一个权衡。

使用简单的模型去拟合复杂数据时，会导致模型很难拟合数据的真实分布，这时模型便欠拟合了，或者说有很大的 Bias， Bias 即为模型的期望输出与其真实输出之间的差异 ；有时为了得到比较精确的模型而过度拟合训练数据，或者模型复杂度过高时，可能连训练数据的噪音也拟合了，导致模型在训练集上效果非常好，但泛化性能却很差，这时模型便过拟合了，或者说有很大的 Variance，这时模型在不同训练集上得到的模型波动比较大， Variance 刻画了不同训练集得到的模型的输出与这些模型期望输出的差异 。

举例：

Bias反映的是模型的期望与真实值之间的误差，即模型本身的精准度，Variance反映的是模型每一次输出结果与模型输出期望之间的误差，即模型的稳定性。

我们通过公式来直观了解一下，文字没有数学符号解释的清楚：

用图形解释方差与偏差：

举一个例子，一次打靶实验，目标是为了打到10环，但是实际上只打到了7环，那么这里面的Error就是3。具体分析打到7环的原因，可能有两方面：一是瞄准出了问题，比如实际上射击瞄准的是9环而不是10环；二是枪本身的稳定性有问题，虽然瞄准的是9环，但是只打到了7环。那么在上面一次射击实验中，Bias就是1,反应的是模型期望与真实目标的差距，而在这次试验中，由于Variance所带来的误差就是2，即虽然瞄准的是9环，但由于本身模型缺乏稳定性，造成了实际结果与模型期望之间的差距。

简单的模型会有一个较大的偏差和较小的方差，复杂的模型偏差较小方差较大。

解决欠拟合的方法：
1、增加新特征，可以考虑加入进特征组合、高次特征，来增大假设空间;
2、尝试非线性模型，比如核SVM 、决策树、DNN等模型;
3、如果有正则项可以较小正则项参数;
4、Boosting ,Boosting 往往会有较小的 Bias，比如 Gradient Boosting 等.
解决过拟合的方法：
1、交叉检验，通过交叉检验得到较优的模型参数;
2、特征选择，减少特征数或使用较少的特征组合，对于按区间离散化的特征，增大划分的区间;
3、正则化，常用的有 L1、L2 正则。而且 L1正则还可以自动进行特征选择;
4、如果有正则项则可以考虑增大正则项参数;
5、增加训练数据可以有限的避免过拟合;
6、Bagging ,将多个弱学习器Bagging 一下效果会好很多，比如随机森林等.
DNN中常见的方法：
1、早停策略。本质上是交叉验证策略，选择合适的训练次数，避免训练的网络过度拟合训练数据。
2、集成学习策略。而DNN可以用Bagging的思路来正则化。首先我们要对原始的m个训练样本进行有放回随机采样，构建N组m个样本的数据集，然后分别用这N组数据集去训练我们的DNN。即采用我们的前向传播算法和反向传播算法得到N个DNN模型的W,b参数组合，最后对N个DNN模型的输出用加权平均法或者投票法决定最终输出。不过用集成学习Bagging的方法有一个问题，就是我们的DNN模型本来就比较复杂，参数很多。现在又变成了N个DNN模型，这样参数又增加了N倍，从而导致训练这样的网络要花更加多的时间和空间。因此一般N的个数不能太多，比如5-10个就可以了。
3、DropOut策略。所谓的Dropout指的是在用前向传播算法和反向传播算法训练DNN模型时，一批数据迭代时，随机的从全连接DNN网络中去掉一部分隐藏层的神经元。　在对训练集中的一批数据进行训练时，我们随机去掉一部分隐藏层的神经元，并用去掉隐藏层的神经元的网络来拟合我们的一批训练数据。使用基于dropout的正则化比基于bagging的正则化简单，这显而易见，当然天下没有免费的午餐，由于dropout会将原始数据分批迭代，因此原始数据集最好较大，否则模型可能会欠拟合。

正则化的目的是限制参数过多或者过大，避免模型更加复杂。例如，使用多项式模型，如果使用 10 阶多项式，模型可能过于复杂，容易发生过拟合。因此需要在目标函数添加一些额外的惩罚项，即正则项。添加惩罚项可看成是对损失函数中的某些参数做一些限制，根据惩罚项的不同可分为：L0范数惩罚、L1范数惩罚（参数稀疏性惩罚）、L2范数惩罚（权重衰减惩罚）。
L0范数惩罚：为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重 w 限制为 0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶。为了达到这一目的，最直观的方法就是限制 w 的个数，但是这类条件属于 NP-hard 问题，求解非常困难。因此机器学习中经常使用L1、L2正则化。L1正则化项也称为Lasso，L2正则化参数也称为Ridge。
L1范数：权值向量w中各个元素的绝对值之和，L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。
L2范数：权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根，L2正则化可以防止模型过拟合；一定程度上，L1也可以防止过拟合。

上面我们得到了带约束的优化问题A2，在实际的求解中，带约束的优化问题往往较难求解，大多都是转化为无约束优化问题去求解。接下来自然而然的我们采用拉格朗日乘子法将约束转化到目标函数上去，也就将约束优化问题A2转化为一个无约束的优化问题。那么这个无约束优化问题的形式是什么样的呢？这里直接先把最终的结论摆上来：

稀疏性对很多机器学习建模问题来说是非常重要的，也是非常好的一个性质。既然有很多系数等于0了，那么说明与之对应的输入是没有用了，这些输入就可以舍去，相当于起到了 降维和feature selection的作用。特殊要说明的是用L1正则化来降维和PCA降维是不同的，可以理解为L1正则化是用了数据的标签来做的，而PCA无需数据的标签。所以L1正则化实际上是带有监督学习性质的降维方法。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是抗扰动能力强。

λ可以控制L图形的大小，λ越小，L的图形越大（上图中的黑色方框和圆）；λ越大，L的图形越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。从另一方面看，由公式5可以看到，λ越大，θj衰减得越快。

机器学习中的Bias(偏差)，Error(误差)，和Variance(方差)有什么区别和联系？

机器学习防止欠拟合、过拟合方法

【学界】有约束转无约束，拉格朗日松弛观点下的L1正则化稀疏性探讨

斯坦福机器学习课程 第三周 (4)正则化：解决过拟合问题

拉格朗日乘子法如何理解？

机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

L1/L2正则化方法

对于一个回归模型（比如多项式回归）而言，假如我们用MSE作为其损失函数，为了避免其参数过多导致模型过拟合，我们可以加入正则化项。

当我们加一个平方项：

其中\theta是该模型各项的系数。

这样的正则化就是L2正则化，就是加了一个平方项。

如果不加平方项，而是绝对值：

这样的方法被称作L1正则化，也就是Lasso回归的方式。因为Lasso趋向于使得一部分\theta为0，所以Lasso可以做 特征选择 。

此外还有一种L0正则，也就是引入一项，使得的个数尽可能的小。但是这是一个离散最优化问题，可能需要穷举，这是一个NP难的问题。所以我们实际上是用L1正则来取代这种方法。

最后还有弹性网络(Elastic Net)，其实就是将L1与L2正则项结合起来。